- Với \(m=2\) BPT luôn có nghiệm

- Với \(m\ne2\) BPT vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2< 0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\-m^2+6m+1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\le3-\sqrt{10}\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(\Delta'=m^2+2m+1-4m-4=m^2-2m-3< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 3\)

2.

b, \(-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}\left(1\right)\\\dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4\left(x^2-x+1\right)>2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2+8m-48< 0\Leftrightarrow-12< m< 4\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-6\left(x^2-x+1\right)< 2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2-12m-28< 0\Leftrightarrow-2< x< 14\)

Vậy \(m\in\left(-2;4\right)\)

2.

a, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1>0\) có nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=m^2+2m+1-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\Delta=-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< \dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{3}{7}\)

Để bất phương trình có tập nghiệm là R thì \(\left(m-2\right)^2-4\left(m+1\right)< 0\)

\(\Rightarrow m^2-4m+4-4m-4< 0\)

=>m(m-8)<0

=>0<m<8

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\) (với a là hệ số của x² và bằng 1, thỏa)

\(\Rightarrow\) (m-2)²-4.(m+1)\(\le\)0 \(\Leftrightarrow\) m²-8m\(\le\)0 \(\Leftrightarrow\) 0\(\le\)m\(\le\)8.

Tên vietjack mà không làm được thì mang tiếng người ta quá

a, Hệ ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x>1-m\\x< 3m-2\end{matrix}\right.\)

Hệ không thể có nghiệm duy nhất 

Hệ có nghiệm khi \(\left(1-m;+\infty\right)\cap\left(-\infty;3m-2\right)\ne\varnothing\)

⇔ 3m - 2 > 1 - m

⇔ m > \(\dfrac{4}{3}\)

Vậy hệ vô nghiệm khi m ≤ \(\dfrac{4}{3}\)